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洛谷
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题目分析
在 n 维空间中找到一个点，使其到所有点的距离相等。
最容易想到的是模拟退火，在空间中找点，计算和每个点的距离，然后求方差，方差小于先前最小值则更新答案。
还可以将欧氏距离的方程转化成 n 元一次方程组，进行高斯消元。
首先看看二维下的情况，对于空间内一点 \(O(a_0,b_0)\)，该点到 \((a_1,b_1)\) \((a_2,b_2)\) \((a_3,b_3)\) 三个点距离相等，则有
\[
\begin{split}
(a_1-a_0)^2 + (b_1-b_0)^2 = r^2\\
(a_2-a_0)^2 + (b_2-b_0)^2 = r^2\\
(a_3-a_0)^2 + (b_3-b_0)^2 = r^2
\end{split}
\]
分别相减得到
\[
\begin{split}
2 \times (a_1 - a_2) \times a_0 + 2 \times (b_1 - b_2) \times b_0 = (a_1^2-a_2^2) + (b_1^2 - b_2^2) \\
2 \times (a_2 - a_3) \times a_0 + 2 \times (b_2 - b_3) \times b_0 = (a_2^2-a_3^2) + (b_2^2 - b_3^2)
\end{split}
\]
这就是我们需要的方程组了。
同理可以推广到高维，接着使用高斯消元即可解决。
代码实现
高斯消元：
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| #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
double ipt[20][20];
double m[20][20];
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> ipt[1][i];
}
for (int i = 2; i <= n + 1; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
cin >> ipt[i][j];
m[i - 1][j] = 2 * (ipt[i - 1][j] - ipt[i][j]);
m[i - 1][n + 1] += ipt[i - 1][j] * ipt[i - 1][j] - ipt[i][j] * ipt[i][j];
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int maxn = i;
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (fabs(m[j][i]) > fabs(m[maxn][i])) maxn = j;
}
for (int j = 1; j <= n + 1; j++) {
swap(m[i][j], m[maxn][j]);
}
for (int j = n + 1; j >= i; j--) {
m[i][j] = m[i][j] / m[i][i];
}
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (i == j) continue;
double tmp = m[j][i] / m[i][i];
for (int k = 1; k <= n + 1; k++) {
m[j][k] -= m[i][k] * tmp;
}
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
printf("%.3lf ", m[i][n + 1]);
}
return 0;
}
}
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模拟退火：
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| #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
double m[20][20];
double cur[20];
double ans[20];
double dis[20];
double tmp[20];
double min_var = 1e9;
double calc(double arr[])
{
double sum = 0;
for (int i = 1; i <= n + 1; i++) {
dis[i] = 0;
for (int j = 1; j <= n; j++) {
dis[i] += (m[i][j] - arr[j]) * (m[i][j] - arr[j]);
}
dis[i] = 666 * dis[i];
sum += dis[i];
}
double aver = sum / (n + 1);
double var = 0;
for (int i = 1; i <= n + 1; i++) {
var += (aver - dis[i]) * (aver - dis[i]);
}
if (var < min_var) {
min_var = var;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ans[i] = cur[i];
}
}
return var;
}
void anneal()
{
double t = 10000;
unsigned seed = std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();
mt19937 rand_num(seed);
uniform_real_distribution<double> range(-1, 1);
while (t > 1e-6) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
tmp[i] = cur[i] + range(rand_num) * t;
}
double d1 = calc(tmp);
double d2 = calc(cur);
double delta = d1 - d2;
if (exp(-delta / t) > fabs(range(rand_num))) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cur[i] = tmp[i];
}
}
t *= 0.9999;
}
}
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n + 1; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
cin >> m[i][j];
}
}
anneal();
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%.3lf ", ans[i]);
return 0;
}
|